대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

종이 접기 횟수

문제

가로의 길이가 LL(mm\mathrm{mm}), 두께가 tt(mm\mathrm{mm})인 직사각형 모양의 종이를 가로 방향으로 반씩 접을 수 있는 최대 횟수를 nn이라 할 때, 부등식 L≥πt6(2n+4)(2n−1)\displaystyle L \geq \frac{\pi t}{6} ( 2 ^{n} + 4 ) ( 2 ^{n} - 1 ) 이 성립한다고 한다. 가로의 길이가 25π25 \pi(mm\mathrm{mm})이고 두께가 0.50.5(mm\mathrm{mm})인 직사각형 모양의 종이를 가로 방향으로 반씩 접으려 한다. 이때, 접을 수 있는 최대 횟수를 aa, 최대한 많이 접은 종이의 총 두께를 bb(mm\mathrm{mm})라 하자. abab의 값을 구하시오. (단, 접은 종이의 총 두께는 종이의 두께만 고려한다.) [4점]

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32

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해설

[출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 가로의 길이가 25π25 \pi, 두께가 0.50.5이므로 25π≥0.5π6(2n+4)(2n−1)\displaystyle 25 \pi \geq \frac{0.5 \pi}{6} ( 2 ^{n} + 4 ) ( 2 ^{n} - 1 ) (2n+4)(2n−1)≤300( 2 ^{n} + 4 ) ( 2 ^{n} - 1 ) \leq 300 22n+3⋅2n−304≤02 ^{2 n} + 3 \cdot 2 ^{n} - 304 \leq 0 2n=t2 ^{n} = t (t>0t > 0)라 하면 t2+3t−304≤0t ^{2} + 3 t - 304 \leq 0 (t−16)(t+19)≤0( t - 16 ) ( t + 19 ) \leq 0 ∴ 0<t≤160 < t \leq 16 이때, 2n≤162 ^{n} \leq 16에서 n≤4n \leq 4이므로 a=4a = 4이다. 종이의 두께는 한 번 접을 때마다 22배씩 늘어나므로 44번 접었을 때 접은 종이의 총 두께는 b=0.5×24=8b = 0.5 \times 2 ^{4} = 8 ∴ ab=32ab = 32

태그

#지수#실생활

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