조화수열의 항이 자연수가 되는 조건

수열 $\displaystyle \left\{ \frac{1}{a _{n}} \right\}$의 공차를 $d$라 하면 $\displaystyle d = \frac{1}{a _{2}} - \frac{1}{a _{1}} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{1}{60}$ $\displaystyle \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{20} + ( n - 1 ) \times \frac{1}{60} = \frac{n + 2}{60}$이므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{60}{n + 2}$ $a _{n}$이 자연수가 되려면 $n + 2$가 $60$의 양의 약수이어야 한다. $60 = 2 ^{2} \times 3 \times 5$이므로 $60$의 양의 약수의 개수는 $( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 12$ $n$이 자연수이므로 $n + 2 \geq 3$이고, 약수 $1$, $2$는 제외한다. 따라서 구하는 $n$의 개수는 $12 - 2 = 10$이다.