조화수열 합 귀납법

자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$로 정의한다. 다음은 $2$ 이상인 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n-1} = n ( a _{n} - 1 )$ 이 성립함을 증명한 것이다.

<증명> (1) $n = 2$일 때, $( \text{좌변} ) = ( \text{우변} ) =$(가) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) $n = k$일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{k-1} = k ( a _{k} - 1 )$ 양변에 $a _{k}$를 더하면 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{k} =$(나)

그런데 $a _{k} = a _{k+1} -$(다) 이므로 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{k} = ( k + 1 ) ( a _{k+1} - 1 )$ 그러므로 $n = k + 1$일 때도 성립한다. 따라서 $2$ 이상인 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①$1$ $ka _{k+1} - k$ $\displaystyle \frac{1}{k}$②$1$ $( k + 1 ) a _{k} - k$ $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$③$1$ $( k + 1 ) a _{k} - k$ $\displaystyle \frac{1}{k}$④$\displaystyle \frac{3}{2}$ $ka _{k+1} - k$ $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$⑤$\displaystyle \frac{3}{2}$ $( k + 1 ) a _{k} - k$ $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$