조화수열 귀납법 빈칸

다음은 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항 $a _{n}$이 $\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{k}$일 때, $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $n + a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n - 1} = n a _{n}$ $\cdots$$\cdots$ (★) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅱ) $n = m ( m \geq 2 )$일 때 (★)이 성립한다고 가정하면 $m + a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{m - 1} = m a _{m}$이므로 $\left( m + 1 \right) + a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{m - 1} + a _{m}$ $= m a _{m} +$${\square {( \text{나} )}}$ $= ( m + 1 ) \left( a _{m + 1} - {\square {( \text{다} )}} \right) + 1$ $= ( m + 1 ) a _{m + 1}$ 이다. 따라서 $n = m + 1$일 때도 (★)이 성립한다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $n + a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n - 1} = n a _{n}$이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f ( m )$, $g ( m )$이라 할 때, $\displaystyle \frac{p \times f ( 3 )}{g ( 11 )}$의 값은? [4점] ①$13$②$15$③$17$④$19$⑤$21$