조화수열 부등식 귀납법

자연수 $i$에 대하여 $\displaystyle H _{i} = 1 + {\frac{1}{2}} + {\frac{1}{3}} + \cdots + {\frac{1}{i}}$이라 할 때, 다음은 부등식 $\displaystyle H _{2 ^{n}} \geq 1 + \frac{n}{2} ( n = 0 , 1 , 2 , \cdots )$…… ㉠ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (ⅰ) $n = 0$일 때, (좌변) $= H _{2 ^{0}} = H _{1} =$(가)

(우변) $\displaystyle = 1 + \frac{0}{2} = 1$ 그러므로 ㉠이 성립한다. (ⅱ) $n = k$일 때, $\displaystyle H _{2 ^{k}} \geq 1 + \frac{k}{2}$가 성립한다고 가정하면 $\displaystyle H _{2 ^{k+1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2 ^{k}} +$(나)

$= H _{2 ^{k}} +$(나)

$\displaystyle \geq \left( 1 + \frac{k}{2} \right) +$(나)

$\displaystyle \geq \left( 1 + \frac{k}{2} \right) +$(다) ㆍ$\displaystyle \frac{1}{2 ^{k + 1}}$ $\displaystyle = 1 + \frac{k + 1}{2}$ 그러므로 $n = k + 1$일 때도 ㉠이 성립한다. 따라서 $0$과 모든 자연수 $n$에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$1$ $\displaystyle \sum\limits _{l = 1} ^{2 ^{k}} \frac{1}{2 ^{k} + l}$ $2 ^{k - 1}$②$1$ $\displaystyle \sum\limits _{l = 1} ^{2 ^{k}} \frac{1}{2 ^{k} + l}$ $2 ^{k}$③$1$ $\displaystyle \frac{1}{2 ^{k + 1}}$ $2 ^{k}$④$\displaystyle \frac{3}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2 ^{k + 1}}$ $2 ^{k - 1}$⑤$\displaystyle \frac{3}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2 ^{k + 1}}$ $2 ^{k}$