조합 항등식 귀납법

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{( - 1 ) ^{k - 1} \mathrm{_{\mathit{n}}} \mathrm{C} _{\mathit{k}}}{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{k}$ …… (*) 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) $n = 1$일 때 (좌변)$= 1$, (우변)$= 1$이므로 (*)이 성립한다. (ⅱ) $n = m$일 때 (*)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{( - 1 ) ^{k - 1} \mathrm{_{\mathit{m}}} \mathrm{C} _{\mathit{k}}}{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k}$ 이다. $n = m + 1$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{( - 1 ) ^{k - 1} \mathrm{_{\mathit{m} + 1}} \mathrm{C} _{\mathit{k}}}{k}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{( - 1 ) ^{k - 1} \mathrm{_{\mathit{m} + 1}} \mathrm{C} _{\mathit{k}}}{k} + {\square {( \text{가} ) ^{}}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{( - 1 ) ^{k - 1} \left( {} _{m} \mathrm{C} _{\mathit{k}} + _{\mathit{m}} \mathrm{C} _{\mathit{k} - 1} \right)}{k}$$+ {\square {( \text{가} ) ^{}}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k} + \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \left\{ \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} \times \frac{{\square {( \text{나} ) ^{}}}}{\left( m - k + 1 \right) ! \left( k - 1 \right) !} \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k} + \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \left\{ \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{{\square {( \text{다} ) ^{}}}} \times \frac{\left( m + 1 \right) !}{\left( m - k + 1 \right) ! k !} \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k} + \frac{1}{m + 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{1}{k}$ 이다. 따라서 $n = m + 1$일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f \left( m \right)$, $g \left( m \right)$, $h \left( m \right)$이라 할 때, $\displaystyle \frac{g \left( 3 \right) + h \left( 3 \right)}{f \left( 4 \right)}$의 값은? [4점] ①$40$②$45$③$50$④$55$⑤$60$