공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

조건과 나머지

문제

$x$ 에 대한 다항식 $f ( x )$ 는 $x ^{2} - 2 x - 3$ 으로 나누어 떨어지고, $f ( x ) - 2$ 는 $x - 1$ 로 나누어 떨어진다. 이때, $f ( x ) + 1$ 을 $x ^{2} - 1$ 로 나눈 나머지는? [3점] ① $x + 2$ ② $x + 3$ ③ $2 x - 1$ ④ $2 x$ ⑤ $2 x + 1$

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①

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해설

[출제의도] 나머지정리를 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다. $f \left( x \right) = \left( x + 1 \right) \left( x - 3 \right) Q _{1} \left( x \right)$ 에서 $f \left( - 1 \right) = 0$ ----① $f \left( x \right) - 2 = \left( x - 1 \right) Q _{2} \left( x \right)$ 에서 $f \left( 1 \right) = 2$ --- ② $f \left( x \right) + 1$ 을 $x ^{2} - 1$ 로 나눈 나머지를 $ax + b$ 라 하면 $f \left( x \right) + 1 = \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right) Q _{3} \left( x \right) + ax + b$ ①, ②에서 $- a + b = 1$ , $a + b = 3$ 이므로 $a = 1$ , $b = 2$ $\therefore$ 나머지는 $x + 2$

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