조건을 만족시키는 n의 개수

$\displaystyle z = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{( 1 + i ) ^{2}}{( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{2 i}{2} = i$이므로 $z ^{n} + z ^{2 n} = i ^{n} + \left( i ^{2} \right) ^{n} = i ^{n} + ( - 1 ) ^{n}$ $n$을 $4$로 나눈 나머지에 따라 나누면 나머지가 $0$일 때 $1 + 1 = 2$ 나머지가 $1$일 때 $i - 1 = - 1 + i$ 나머지가 $2$일 때 $- 1 + 1 = 0$ 나머지가 $3$일 때 $- i - 1 = - 1 - i$ 이므로 실수부분이 $- 1$, 허수부분이 $1$인 경우는 $n$을 $4$로 나눈 나머지가 $1$일 때뿐이다. $100$ 이하의 자연수 중 $4$로 나눈 나머지가 $1$인 수는 $1$, $5$, $9$, $\cdots$, $97$이다. 따라서 구하는 $n$의 개수는 $25$이다.