조건을 만족하는 집합

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 집합을 추론한다. 조건 (가)에서 $0 \in A$ 조건 (나)에서 명제 ‘$a ^{2} - 2 \notin A$이면 $a \notin A$’가 참이므로 이 명제의 대우 ‘$a \in A$이면 $a ^{2} - 2 \in A$’도 참이다. $0 \in A$이므로 $0 ^{2} - 2$$= \mathit{-} 2$$\in A$ $- 2 \in A$이므로 $( - 2 ) ^{2} - 2$$= 4 - 2$$= 2$$\in A$ $2 \in A$이므로 $2 ^{2} - 2 = 2$$\in A$ 그러므로 $\left\{ - 2 , 0 , 2 \right\} \subset A$ 조건 (다)에서 $n ( A ) = 4$이므로 $A = \left\{ - 2 , 0 , 2 , k \right\}$ (단, $k \ne - 2$, $k \ne 0$, $k \ne 2$)라 하자. $k \in A$이면 $k ^{2} - 2 \in A$이므로 $k ^{2} - 2$의 값은 $- 2$, $0$, $2$, $k$ 중 하나이다. (ⅰ) $k ^{2} - 2$$= \mathit{-} 2$인 경우 $k ^{2} = 0$에서 $k = 0$이 되어 $k \ne 0$에 모순이다. (ⅱ) $k ^{2} - 2 = 0$인 경우 $k ^{2} = 2$에서 $\displaystyle k = \mathit{-} \sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle k = \sqrt{2}$ (ⅲ) $k ^{2} - 2 = 2$인 경우 $k ^{2} = 4$에서 $k = \mathit{-} 2$ 또는 $k = 2$가 되어 $k \ne \mathit{-} 2$, $k \ne 2$에 모순이다. (ⅳ) $k ^{2} - 2 = k$인 경우 $k ^{2} - k - 2 = 0$, $( k - 2 ) ( k + 1 ) = 0$ 이고 $k \ne 2$이므로 $k = \mathit{-} 1$ (ⅰ)~(ⅳ)에서 $\displaystyle k = \mathit{-} \sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle k = \sqrt{2}$ 또는 $k = \mathit{-} 1$ 따라서 집합 $A$가 될 수 있는 것은 $\displaystyle \left\{ - 2 , 0 , 2 , - \sqrt{2} \right\}$, $\displaystyle \left\{ - 2 , 0 , 2 , \sqrt{2} \right\}$, $\left\{ - 2 , 0 , 2 , - 1 \right\}$ 이고 개수는 $3$이다.