조건을 만족하는 함수

조건 (다)를 만족시키는 $a$, $b$에 대하여 $a < b$라고 하자. (ⅰ) $a \in \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$, $b \in \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$인 경우 $f \left( a \right) > f \left( b \right)$이므로 조건 (가)에 모순이다. (ⅱ) $a \in \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$, $b \in \left\{ 4 , 5 \right\}$인 경우 가능한 $\left( a , b \right)$의 순서쌍은 $\left( 1 , 4 \right)$, $\left( 1 , 5 \right)$, $\left( 2 , 4 \right)$, $\left( 2 , 5 \right)$, $\left( 3 , 4 \right)$, $\left( 3 , 5 \right)$ 이 중 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍은 $\left( 2 , 5 \right)$, $\left( 3 , 4 \right)$, $\left( 3 , 5 \right)$뿐이다. ① $f \left( 2 \right) = 5$, $f \left( 5 \right) = 2$인 경우 조건 (가)를 만족시키도록 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 3 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{5}} {\mathrm{H}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{1}} {\mathrm{H}} \mathit{_{1}} = 5$ 조건 (나)를 만족시키도록 $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} = 3$이므로 함수 $f$의 개수는 $5 \times 3 = 15$ ② $f \left( 3 \right) = 4$, $f \left( 4 \right) = 3$인 경우 조건 (가)를 만족시키도록 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}} = \mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 10$ 조건 (나)에 의하여 $f \left( 5 \right) = 2$ 이므로 함수 $f$의 개수는 $10 \times 1 = 10$ ③ $f \left( 3 \right) = 5$, $f \left( 5 \right) = 3$인 경우 조건 (가)를 만족시키도록 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{5}} \mathrm{H} \mathit{_{2}} = \mathit{_{6}} \mathrm{C} \mathit{_{2}} = 15$ 조건 (나)를 만족시키도록 $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 2$이므로 함수 $f$의 개수는 $15 \times 2 = 30$ $f \left( 2 \right) = 5$, $f \left( 5 \right) = 2$이고 $f \left( 3 \right) = 4$, $f \left( 4 \right) = 3$이면 조건 (가)에 모순이므로 ①과 ②의 경우에서 중복되는 경우는 없다. (ⅲ) $a \in \left\{ 4 , 5 \right\}$, $b \in \left\{ 4 , 5 \right\}$인 경우 $f \left( 4 \right) = 5$, $f \left( 5 \right) = 4$이므로 조건 (나)를 만족시킨다. 조건 (가)를 만족시키도록 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{5}} \mathrm{H} \mathit{_{3}} = \mathit{_{7}} \mathrm{C} \mathit{_{3}} = 35$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수의 개수는 $15 + 10 + 30 + 35 = 90$