조건부 귀납적 수열

$d \geq 0$이면 $n \geq 5$에 대하여 $a _{n} \geq 16$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. $d < 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $a _{2} + a _{3} = 0$에서 $a _{2} = - a _{3}$ (Ⅰ) $a _{2} = a _{3} = 0$인 경우 $a _{3} = a _{2} + d$에서 $d = 0$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (Ⅱ) $a _{2} < 0$, $a _{3} > 0$인 경우 $a _{3} = ra _{2} = - a _{2}$이므로 $r = - 1$ ① $a _{1} = 0$인 경우 $a _{2} = a _{1} + d = d < 0$ $a _{3} = - d > 0$ $a _{4} = a _{3} + d = 0$ $a _{5} = d < 0$, $a _{5} \ne 16$ ② $a _{1} > 0$인 경우 $a _{2} = a _{1} + d < 0$ $a _{3} = - a _{2} = - a _{1} - d > 0$ $a _{4} = a _{3} + d = - a _{1} - d + d = - a _{1} < 0$ $a _{5} = r a _{4} = a _{1}$ 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n + 4} = a _{n} \ne 0$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. ③ $a _{1} < 0$인 경우 $a _{2} = - a _{1} > 0$ ①$\sim$ ③에 의하여 조건을 만족시키지 않는다. (Ⅲ) $a _{2} > 0$, $a _{3} < 0$인 경우 ① $r = 0$인 경우 $a _{4} = ra _{3} = 0$, $a _{5} = d < 0$이므로 $a _{5} \neq 16$ ② $r > 0$인 경우 $n \geq 3$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} < 0$이고 $a _{5} \neq 16$ ①, ②에 의하여 $r < 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ (Ⅰ)$\sim$(Ⅲ) 에 의하여 $a _{2} > 0$, $a _{3} < 0$, $r < 0$ $a _{3} = a _{2} + d = - a _{2}$ $\displaystyle a _{2} = - \frac{d}{2}$, $\displaystyle a _{3} = \frac{d}{2}$, $\displaystyle a _{4} = \frac{r d}{2} > 0$ $\displaystyle a _{5} = \frac{rd}{2} + d = 16$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 조건 (나)에서 $a _{k} = 0$이면 $a _{k + 1} = d < 0$, $a _{k + 2} = r d > 0$, $a _{k + 3} = r d + d$, $a _{k + 2 - r} = r d - r d = 0$이므로 $2 - r$은 $\mathrm{12}$의 약수이다. ㉡에 의하여 $r = - 1$, $- 2$, $- 4$, $- 10$ (ⅰ) $r = - 1$인 경우 ㉢에 의하여 $d = 32$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $r = - 2$인 경우 ㉢에 의하여 $a _{5} = 0$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $r = - 4$인 경우 ㉢에 의하여 $d = - 16$이므로 $a _{2} = 8$이고 $a _{1} \geq 0$이면 $a _{1} = 24$ $a _{1} < 0$이면 $a _{1} = - 2$ (ⅳ) $r = - 10$인 경우 ㉢에 의하여 $d = - 4$이므로 $a _{2} = 2$이고 $a _{1} \geq 0$이면 $a _{1} = 6$ $a _{1} < 0$이면 $\displaystyle a _{1} = - \frac{1}{5}$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 $a _{1}$의 값은 $- 2$, $6$, $24$ 이고 그 합은 $28$