조건 수열의 곱의 합

[출제의도] 여러 가지 수열의 수학 내적 문제해결하기 수열$\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $1$이고 공차가 $1$인 등차수열, 수열$\left\{ b _{n} \right\}$은 첫째항이 $2$이고 공비가 $2$인 등비수열이므로 $a _{n} = n$, $b _{n} = 2 ^{n}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} a _{k} b _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{20} k \cdot 2 ^{k} = S$라 하면 $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 ^{2} + 3 \cdot 2 ^{3} + \cdots + 20 \cdot 2 ^{20}$$\cdots$$\cdots$㉠ $2 S = 1 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{3} + 3 \cdot 2 ^{4} + \cdots + 20 \cdot 2 ^{21}$$\cdots$㉡ ㉠$-$㉡을 하면 $- S = 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{20} - 20 \cdot 2 ^{21}$ $\displaystyle = \frac{2 ( 2 ^{20} - 1 )}{2 - 1} - 20 \cdot 2 ^{21}$ $= - 19 \cdot 2 ^{21} - 2$ $\displaystyle S = \sum\limits _{k = 1} ^{20} a _{k} b _{k} = 19 \cdot 2 ^{21} + 2$