미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조건 수열 등비급수

문제

임의의 자연수 p,q,rp , q , r에 대하여, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=10a _{1} = 10, ap+aq+ar=ap+q+ra _{p} + a _{q} + a _{r} = a _{p + q + r}를 만족하고, 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 b1=35\displaystyle b _{1} = \frac{3}{5}, bpbq=bp+qb _{p} b _{q} = b _{p + q}를 만족한다. 이 때, ∑n=1∞anbnn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n} b _{n}}{n}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

p=q=1p = q = 1, r=nr = n이면 2a1+an=an+22 a _{1} + a _{n} = a _{n + 2}이므로 an+2=an+20a _{n + 2} = a _{n} + 20 p=q=r=1p = q = r = 1이면 a3=30a _{3} = 30 p=q=2,r=1p = q = 2 , r = 1이면 a5=2a2+a1a _{5} = 2 a _{2} + a _{1}이고, a5=a3+2a1,a5=50a _{5} = a _{3} + 2 a _{1} , a _{5} = 50이므로 a2=20a _{2} = 20 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 공차가 1010인 등차수열이다. an=10na _{n} = 10 n …① 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}에서 p=1p = 1을 대입하여 정리하면 bn=35(35)n−1=(35)n\displaystyle b _{n} = \frac{3}{5} \left( \frac{3}{5} \right) ^{n - 1} = \left( \frac{3}{5} \right) ^{n}… ② ①, ②에 의하여 ∑n=1∞anbnn=∑n=1∞10n×(35)nn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n} b _{n}}{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{10 n \times ( \frac{3}{5} ) ^{n}}{n}=10∑n=1∞(35)n=15\displaystyle = 10 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{3}{5} \right) ^{n} = 15

태그

#등비급수#수열

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