미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조건 수열 등비급수

문제

임의의 자연수 p,q,rp , q , r에 대하여, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=10a _{1} = 10, ap+aq+ar=ap+q+ra _{p} + a _{q} + a _{r} = a _{p + q + r}를 만족하고, 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 b1=35\displaystyle b _{1} = \frac{3}{5}, bpbq=bp+qb _{p} b _{q} = b _{p + q}를 만족한다. 이 때, ∑n=1∞anbnn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n} b _{n}}{n}의 값을 구하시오. [3점]

정답 보기
1515

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

p=q=1p = q = 1, r=nr = n이면 2a1+an=an+22 a _{1} + a _{n} = a _{n + 2}이므로 an+2=an+20a _{n + 2} = a _{n} + 20 a1=10a _{1} = 10이므로 a3=30a _{3} = 30, a5=50a _{5} = 50 a5=a3+2a1a _{5} = a _{3} + 2 a _{1}이므로 a2=20a _{2} = 20 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 공차가 1010인 등차수열이다. an=10na _{n} = 10 n …① 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}에서 p=1p = 1을 대입하여 정리하면 bn=35(35)n−1=(35)n\displaystyle b _{n} = \frac{3}{5} \left( \frac{3}{5} \right) ^{n - 1} = \left( \frac{3}{5} \right) ^{n}… ② ①, ②에 의하여 ∑n=1∞anbnn=∑n=1∞10n×(35)nn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n} b _{n}}{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{10 n \times ( \frac{3}{5} ) ^{n}}{n}=10∑n=1∞(35)n=15\displaystyle = 10 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{3}{5} \right) ^{n} = 15

태그

#등비급수#수열

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로