조건 만족 순서쌍 개수의 합

구하는 순서쌍 $\left( x , y \right)$의 개수는 조건 (가), (나)를 만족시키는 좌표평면 위의 점 $\left( x , y \right)$의 개수와 같다. $xy > 0$이므로 점 $\left( x , y \right)$는 제$1$사분면 또는 제$3$사분면 위의 점이다. 조건 (가)에서 $- 2 ^{n} \leq x \leq 2 ^{n}$, $- 2 ^{n} \leq y \leq 2 ^{n}$ 조건 (나)에서 점 $\left( x , y \right)$가 제$1$사분면 위에 있을 때 $xy \leq 2 ^{n}$이므로 $\displaystyle y \leq \frac{2 ^{n}}{x}$을 만족시키는 점이고, 점 $\left( x , y \right)$가 제$3$사분면 위에 있을 때 $xy > 2 ^{n}$이므로 $\displaystyle y < \frac{2 ^{n}}{x}$ ($\because$ $x < 0$)을 만족시키는 점이다.

$- 2 ^{n}$ $- 2 ^{n}$

그림과 같이 점 $\left( x , y \right)$는 $A$부분과 $B$부분에 있는 점이다. (단, 점선과 $x$축, $y$축은 제외한다.) $B$부분과 $C$부분의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수는 서로 같으므로 조건 (가), (나)를 만족시키는 점 $\left( x , y \right)$의 개수는 $A$와 $C$로 이루어진 부분의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다. $x = k$($\left. 1 \leq k \leq 2 ^{n} , k \right.$는 정수)일 때 $y$좌표가 정수인 점은 $\left( k , 1 \right)$, $\left( k , 2 \right)$, $\left( k , 3 \right)$, $\cdots$, $\left( k , 2 ^{n} \right)$ 이므로 $2 ^{n}$개이다. $k = 1$, $2$, $3$, $\cdots$, $2 ^{n}$이므로 구하는 순서쌍의 개수는 $a _{n} = 2 ^{n} \times 2 ^{n} = 4 ^{n}$ 따라서 $\displaystyle S _{4} = \frac{4 \left( 4 ^{4} - 1 \right)}{4 - 1} = \frac{4}{3} \left( 4 ^{4} - 1 \right) = 340$