조건 만족 집합의 p

[출제의도] 집합의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 값을 추론한다. 자연수 전체의 집합의 부분집합 $X$가 $n ( X ) = 3$이고 $5 \in X$이므로 $X = \left\{ 5 , \alpha , \beta \right\}$ 대응 $f : X \rightarrow X$를 $x \in X$가 홀수이면 $\displaystyle f ( x ) = \frac{x + p}{2}$ $x \in X$가 짝수이면 $\displaystyle f ( x ) = \frac{x}{2}$ 로 정의하면 $f$는 함수이다.

$\displaystyle \frac{5 + p}{2}$가 자연수가 되어야 하므로 $p$는 홀수이다. ⅰ) $f ( 5 ) = 5$, 즉 $p = 5$일 때

$f ( \alpha ) = 5$, $f ( \alpha ) = \alpha$, $f ( \alpha ) = \beta$인 경우를 각각 생각할 수 있다. $f ( \alpha ) = 5$일 때, $\alpha$가 짝수이면 $\displaystyle \frac{\alpha}{2} = 5$, $\alpha = 10$ 이때 $\beta$가 홀수이면 $\beta = 15$이고, $\beta$가 짝수이면 $\beta = 20$ 따라서 가능한 경우는 $X = \left\{ 5 , 10 , 15 \right.$, $X = \left\{ 5 , 10 , 20 \right.$ 따라서 $p = 5$이고 $\alpha$가 짝수인 경우 가능한 집합 $X$가 존재하므로 $p = 5$일 때, $\alpha$가 홀수인 경우와 $f ( \alpha ) = \alpha$, $f ( \alpha ) = \beta$인 경우는 다루지 않는다. ⅱ) $f ( 5 ) = \alpha$일 때 $\alpha \ne 5$이므로 $p \ne 5$ 그런데 $p < 5$인 홀수인 경우에는 $n ( X ) = 3$인 경우가 존재하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 $p > 5$인 경우만 생각하면 된다. $5 < p$이면 $5 < \alpha < p$이다. 이때 가능한 경우로 $f ( \alpha ) = 5$ 또는 $f ( \alpha ) = \alpha$ 또는 $f ( \alpha ) = \beta$를 생각해 볼 수 있다. ⅱ-1) $f ( 5 ) = \alpha$, $f ( \alpha ) = 5$일 때

$\alpha$가 짝수이면 $\displaystyle \frac{\alpha}{2} = 5$, $\alpha = 10$이고, $\displaystyle \frac{5 + p}{2} = 10$이므로 $p = 15$ 가능한 $\beta$의 값은 $\beta = 15$와 $\beta = 20$이 있다. ⅱ-2) $f ( 5 ) = \alpha , f ( \alpha ) = \alpha$일 때 $\alpha \ne 5$이면 $p \ne 5$이므로 $\displaystyle \frac{\alpha}{2} \ne \alpha$, $\displaystyle \frac{\alpha + p}{2} \ne \alpha$ 따라서 이 경우는 존재하지 않는다. ⅱ-3) $f ( 5 ) = \alpha$, $f ( \alpha ) = \beta$일 때

$f ( \beta ) = 5$ 또는 $f ( \beta ) = \alpha$ 또는 $f ( \beta ) = \beta$의 경우를 생각해 볼 수 있다. ⅱ-3-a) $f ( \beta ) = 5$일 때, ⅱ-3-a-ㄱ) $\alpha$가 짝수이면 $\displaystyle \frac{\alpha}{2} = \beta$ 이때 $\beta$가 짝수이면 $\displaystyle \frac{\beta}{2} = 5$, $\beta = 10$이고, $\alpha = 20$ $\displaystyle \frac{5 + p}{2} = 20$이므로 $p = 35$ 이때 $X = \left\{ 5 , 10 , 20 \right.$ $\beta$가 홀수이면 $f ( \beta ) = f ( f ( \alpha ) ) = f ( f ( f ( 5 ) ) )$에서 $\displaystyle \frac{\beta + p}{2} =$$\displaystyle \frac{\alpha + 2 p}{4} = \frac{5 + 5 p}{8} = 5$이고, $p = 7$ 이때 $X = \left\{ 3 , 5 , 6 \right.$ ⅱ-3-a-ㄴ) $p > 5$이면 $5$, $\alpha$, $p$, $\displaystyle \frac{\alpha + p}{2}$의 대소 관계는 다음 그림과 같다. $\alpha$가 홀수이면 $\displaystyle \frac{\alpha + p}{2} = \beta$ $\beta$가 홀수이면 $\displaystyle \alpha < \beta < \frac{\beta + p}{2} < p$이므로 $n ( X ) \geq 4$가 되어 모순이 생긴다. $\beta$가 짝수이면 $\displaystyle \frac{\beta}{2} = 5$ $\displaystyle f ( \beta ) = \frac{\beta}{2} = 5$, 즉 $\beta = 10$일 때, $\displaystyle \frac{\alpha + p}{2} = \frac{\frac{5 + p}{2} + p}{2} = 10$ $\displaystyle p = \frac{35}{3}$이므로 모순이다. 따라서 가능한 경우가 없다. ⅱ-3-b) $f ( \beta ) = \alpha$일 때, ⅱ-3-b-ㄱ) $\alpha$가 짝수이고 $\beta$가 짝수이면 $\displaystyle f ( \beta ) = \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha}{4} = \alpha$이므로 $\alpha = 0$이 되어 모순이다. ⅱ-3-b-ㄴ) $\alpha$가 짝수이고 $\beta$가 홀수이면 $\alpha = f ( \beta ) = f ( f ( f ( 5 ) ) )$이므로 $\displaystyle \frac{5 + p}{2} = \frac{5 + 5 p}{8} , p = 15$이고 $\beta = 5$가 되어 모순이다. ⅱ-3-b-ㄷ) $\alpha$가 홀수이면 $\beta$는 짝수이고 이 경우 $\displaystyle \frac{\beta}{2} = \alpha$가 된다. $\displaystyle \frac{5 + 3 p}{8} = \frac{5 + p}{2}$, $p < 0$이 되어 모순이다. ⅱ-3-c) $f ( \beta ) = \beta$일 때, $\beta < p$이므로 $\displaystyle \frac{\beta}{2} \ne \beta$이고, $\displaystyle \frac{\beta + p}{2} \ne \beta$이므로 $f ( \beta ) \ne \beta$이다. 따라서 가능한 경우가 없다. ⅰ), ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 자연수 $p$의 값의 합은 $5 + 7 + 15 + 35 = 62$