조건 만족 일대일대응

[출제의도] 경우의 수를 이용하여 함수의 개수를 구하는 문제를 해결한다. 조건 (나)에서 $f ( 2 n ) < f ( n ) < f ( 3 n )$이므로 $n = 1$일 때, $f ( 2 ) < f ( 1 ) < f ( 3 )$ $n = 2$일 때, $f ( 4 ) < f ( 2 ) < f ( 6 )$ $f ( 4 ) < f ( 2 ) < f ( 1 ) < f ( 3 )$ 이고 $f ( 2 ) < f ( 6 )$이므로 $6$개의 숫자 중 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$, $f ( 6 )$에 대응될 $5$개를 선택하면 $f ( 5 )$에 대응될 나머지 한 수와 $5$개의 수 중 $f ( 4 )$, $f ( 2 )$에 대응될 수가 정해진다. $f ( 4 )$, $f ( 2 )$에 대응될 두 수를 제외한 나머지 세 수 중 $f ( 6 )$에 대응될 수를 선택하면 $f ( 1 )$과 $f ( 3 )$에 대응되는 수도 정해진다. 구하는 경우의 수는 $6$개의 숫자 중 $5$개를 선택하는 경우의 수 ${} _{6} \mathrm{C} _{5}$와 $f ( 4 )$, $f ( 2 )$에 대응될 두 수를 제외한 나머지 세 수 중 $f ( 6 )$에 대응되는 수를 선택하는 경우의 수 $3$의 곱과 같다. 따라서 ${} _{6} \mathrm{C} _{5} \times 3$$= 18$