조건 만족 함수의 개수

조건 (가)에 의하여 $f \left( 2 \right) + 3 \geq f \left( 1 \right) + 1$, $f \left( 1 \right) \leq f \left( 2 \right) + 2$ $f \left( 3 \right) + 3 \geq f \left( 2 \right) + 2$, $f \left( 2 \right) \leq f \left( 3 \right) + 1$ $f \left( 4 \right) + 3 \geq f \left( 3 \right) + 3$, $f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right)$ $f \left( 5 \right) + 3 \geq f \left( 4 \right) + 4$, $f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) - 1$ 따라서 $f \left( 1 \right) \leq f \left( 2 \right) + 2 \leq f \left( 3 \right) + 3 \leq f \left( 4 \right) + 3 \leq f \left( 5 \right) + 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 $f \left( 2 \right)$의 값은 홀수이므로 (ⅰ) $f \left( 2 \right) = 1$일 때 ㉠에서 $f \left( 1 \right) \leq 3$이므로 $f \left( 1 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $3$이고 $3 \leq f \left( 3 \right) + 3 \leq f \left( 4 \right) + 3 \leq f \left( 5 \right) + 2$ 즉 $0 \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) - 1$이므로 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중 $3$개를 정하는 중복조합의 수에서 $f \left( 5 \right) - 1$의 값이 $5$인 경우의 수를 뺀 값과 같다. $\mathit{_{5}} \mathrm{H} _{3} - \mathit{_{5}} \mathrm{H} _{2} = \mathit{\mathrm{_{7}}} \mathrm{C} _{3} - \mathit{_{6}} \mathrm{C} _{2} = 35 - 15 = 20$ 따라서 구하는 함수의 개수는 $3 \times 20 = 60$ (ⅱ) $f \left( 2 \right) = 3$일 때 ㉠에서 $f \left( 1 \right) \leq 5$이므로 $f \left( 1 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $5$이고 $5 \leq f \left( 3 \right) + 3 \leq f \left( 4 \right) + 3 \leq f \left( 5 \right) + 2$ 즉 $2 \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) - 1$이므로 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$, $3$, $4$, $5$ 중 $3$개를 정하는 중복조합의 수에서 $f \left( 5 \right) - 1$의 값이 $5$인 경우의 수를 뺀 값과 같다. $\mathit{_{4}} \mathrm{H} _{3} - \mathit{_{4}} \mathrm{H} _{2} = \mathit{\mathrm{_{6}}} \mathrm{C} _{3} - \mathit{_{5}} \mathrm{C} _{2} = 20 - 10 = 10$ 따라서 구하는 함수의 개수는 $5 \times 10 = 50$ (ⅲ) $f \left( 2 \right) = 5$일 때 ㉠에서 $f \left( 1 \right) \leq 7$이므로 $f \left( 1 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $5$이고 $7 \leq f \left( 3 \right) + 3 \leq f \left( 4 \right) + 3 \leq f \left( 5 \right) + 2$ 즉 $4 \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) - 1$이므로 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 4 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $4$, $5$ 중 $3$개를 정하는 중복조합의 수에서 $f \left( 5 \right) - 1$의 값이 $5$인 경우의 수를 뺀 값과 같다. $\mathit{_{2}} \mathrm{H} _{3} - \mathit{_{2}} \mathrm{H} _{2} = \mathit{\mathrm{_{4}}} \mathrm{C} _{3} - \mathit{_{3}} \mathrm{C} _{2} = 4 - 3 = 1$ 따라서 구하는 함수의 개수는 $5 \times 1 = 5$ 이상에서 구하는 함수의 개수는 $60 + 50 + 5 = 115$