조건 만족 함수 개수

합성함수 $f \circ f$의 치역의 원소의 개수가 1 이므로 정의역에 속하는 임의의 원소 $x$에 대하여 $f ( f ( x ) ) = a$라고 할 때 $a$가 될 수 있는 경우의 수는 ${}_{4} C _{1} = 4$(가지) 이 때 $f ( f ( x ) ) = a$ 인 경우 $a$를 포함하는 함수 $f$의 치역은 $\left\{ a , b \right\} , \left\{ a , c \right\} , \left\{ a , d \right\}$로 3가지이다. 이제 정의역의 원소를 $\left\{ a , b , c , d \right\}$라 하고 $f$의 치역을 $\left\{ a , b \right\}$라고 하면 $f ( f ( a ) ) = a$이기 위해서 $f ( a ) = a$ 이어야 한다. 또 $f ( f ( b ) ) = a$ 이기 위해서 반드시 $f ( b ) = a$가 되어야 한다. 이 때 정의역의 나머지 두 원소 $c , d$가 $a \text{또는} b$에 대응하는 방법의 수는 $2 ^{2} - 1 = 3$ 이다. 따라서 구하는 함수 $f$의 개수는 $4 \times 3 \times 3 = 36$ 이다.