조건 만족 함수 개수

[출제의도] 중복순열을 이용하여 문제를 해결한다. (ⅰ) $f ( 3 )$$= 4$ 또는 $f ( 3 )$$= 10$인 경우 $f ( 3 )$$= 4$이면 $f ( 2 )$$= f ( 5 )$$= 2$이고, $f ( 1 )$과 $f ( 4 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $6$, $8$, $10$, $12$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 선택하는 중복순열의 수와 같다. $f ( 3 )$$= 10$이면 $f ( 1 )$$= f \left( 4 \right)$$= 12$이고, $f ( 2 )$와 $f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$, $4$, $6$, $8$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 선택하는 중복순열의 수와 같다. 그러므로 구하는 함수의 개수는 $\displaystyle 2 \times _{4} \prod _{2}$$= 32$ (ⅱ) $f ( 3 )$$= 6$ 또는 $f ( 3 )$$= 8$인 경우 $f ( 3 )$$= 6$이면 $f ( 2 )$와 $f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$, $4$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 선택하는 중복순열의 수와 같고, $f ( 1 )$과 $f ( 4 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $8$, $10$, $12$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 선택하는 중복순열의 수와 같다. $f ( 3 ) = 8$이면 $f ( 1 )$과 $f ( 4 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $10$, $12$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 선택하는 중복순열의 수와 같고, $f ( 2 )$와 $f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$, $4$, $6$ 중에서 중복을 허락하여 $2$개를 선택하는 중복순열의 수와 같다. 그러므로 구하는 함수의 개수는 $\displaystyle 2 \times {} _{2} \prod _{2} \times _{3} \prod _{2} = 72$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 함수 $f$의 개수는 $32 + 72 = 104$