대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

조건 점화식의 합

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $a _{1} = 88$ 이고, 모든 자연수 $n$ 에 대하여

$a _{n + 1} =$	$\displaystyle {\begin{cases} & \\ \begin{aligned} \\ \end{aligned} & \end{cases}}$	$a _{n} - 3$	$\left( a _{n} \geq 65 \right)$
		$\displaystyle \frac{1}{2} a _{n}$	$\left( a _{n} < 65 \right)$

를 만족시킬 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{15} a _{n}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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747

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해설

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $a _{1} = 88 \geq 65$ $a _{n} \geq 65$ 인 경우 $a _{n + 1} = a _{n} - 3$ 이므로 $a _{n} = - 3 n + 91 \geq 65$ 에서 $\displaystyle n \leq \frac{26}{3} = 8.666 \cdots$ $n \geq 9$ 일 때,

$\displaystyle {\begin{cases} & \\ \begin{aligned} \\ \end{aligned} & \end{cases}}$	$a _{9} = a _{8} - 3 = 67 - 3 = 64$
	$\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{2} a _{n}$ $\left( n \geq 9 \right)$

$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{15} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{8} a _{n} + \sum\limits _{n = 9} ^{15} a _{n}$ $\displaystyle = \frac{8 \times \left( a _{1} + a _{8} \right)}{2} + \frac{a _{9} \times \left( 1 - \frac{1}{2 ^{7}} \right)}{1 - \frac{1}{2}}$ $\displaystyle = \frac{8 \times \left( 88 + 67 \right)}{2} + \frac{64 \times \left( 1 - \frac{1}{2 ^{7}} \right)}{1 - \frac{1}{2}}$ $= 620 + 127 = 747$

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