조건 함수의 개수

[출제의도] 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수를 구할 수 있는가? 조건 (나)와 조건 (다)에서 $f \left( 3 \right) \ne 1$, $f \left( 4 \right) \ne 6$ 조건 (가)에서 $f \left( 3 \right) + f \left( 4 \right)$가 $5$의 배수인 $f \left( 3 \right) , f \left( 4 \right)$의 순서쌍 $\left( f \left( 3 \right) , f \left( 4 \right) \right)$는 $\left( 4 , 1 \right)$, $\left( 2 , 3 \right)$, $\left( 3 , 2 \right)$, $\left( 6 , 4 \right)$, $\left( 5 , 5 \right)$ (ⅰ) $f \left( 3 \right) = 4 , f \left( 4 \right) = 1$인 경우 $f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $3 ^{2}$$= 9$ $f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $5 ^{2}$$= 25$ 즉 함수 $f$의 개수는 $9 \times 25$$= 225$ (ⅱ) $f \left( 3 \right) = 2 , f \left( 4 \right) = 3$인 경우 $f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $1 ^{2}$$= 1$ $f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $3 ^{2}$$= 9$ 즉 함수 $f$의 개수는 $1 \times 9$$= 9$ (ⅲ) $f \left( 3 \right) = 3 , f \left( 4 \right) = 2$인 경우 $f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2 ^{2}$$= 4$ $f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $4 ^{2}$$= 16$ 즉 함수 $f$의 개수는 $4 \times 16$$= 64$ (ⅳ) $f \left( 3 \right) = 6 , f \left( 4 \right) = 4$인 경우 $f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $5 ^{2}$$= 25$ $f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2 ^{2}$$= 4$ 즉 함수 $f$의 개수는 $25 \times 4$$= 100$ (ⅴ) $f \left( 3 \right) = 5 , f \left( 4 \right) = 5$인 경우 $f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $4 ^{2}$$= 16$ $f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $1 ^{2}$$= 1$ 즉 함수 $f$의 개수는 $16 \times 1$$= 16$ (ⅰ)~(ⅴ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $225 + 9 + 64 + 100 + 16$$= 414$