조각함수 극값 보기

ㄱ. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-} \frac{g ( x )}{x - 1} = \lim\limits _{x\rightarrow 1-} ( x - 1 ) f ( x ) = 0$ ㄴ. $n = 1$ 이면 $f ( x ) = x ^{2} + 1$이므로 $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} ( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 ) & ( x \geq 1 ) \\ ( x - 1 ) ^{2} ( x ^{2} + 1 ) & ( x < 1 ) \end{cases}$ 인데, $g ( x ) \geq 0 = g ( 1 )$이므로 함수 $g ( x )$는 $x = 1$에서 극솟값을 갖는다. ㄷ. $x > 1$에서는 $\displaystyle g ( x ) = ( x - 1 ) \left( x ^{2} + \frac{1}{n} \right)$은 증가함수이므로 극점은 없다. $x < 1$ 일 때는 $\displaystyle g ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} \left( x ^{2} + \frac{1}{n} \right)$ 에서 $\displaystyle g' ( x ) = 2 ( x - 1 ) \left( x ^{2} + \frac{1}{n} \right) + 2 x ( x - 1 ) ^{2}$ $\displaystyle = 2 ( x - 1 ) \left( 2 x ^{2} - x + \frac{1}{n} \right)$ $x < 1$인 모든 $x$에 대하여 $\displaystyle 2 x ^{2} - x + \frac{1}{n}$$\geq 0$이면 극점은 없다. $\displaystyle 2 x ^{2} - x + \frac{1}{n}$$\displaystyle = 2 \left( x - \frac{1}{4} \right) ^{2} + \frac{1}{n} - \frac{1}{8} \geq 0$ 따라서 $n \leq 8$이므로, 함수 $g ( x )$의 극점이 $x = 1$일 때 한 개뿐인 경우 자연수 $n$의 개수는 8이다.