짝수 약수 개수 합

[출제의도] 약수의 개수와 관련하여 수열의 합을 구한다. $6 ^{n} = ( 2 \times 3 ) ^{n} = 2 ^{n} \cdot 3 ^{n}$에서 $6 ^{n}$의 전체 양의 약수의 개수는 $( n + 1 ) ( n + 1 ) =$$( n + 1 ) ^{2}$이다. 한편, 짝수인 양의 약수의 개수는 전체 양의 약수의 개수에서 홀수인 양의 약수의 개수를 뺀 것과 같다. 이때, 홀수인 양의 약수는 $3 ^{n}$의 양의 약수와 같으므로 그 개수는 $n + 1$이다. 즉, $a _{n} = ( n + 1 ) ^{2} - ( n + 1 )$$= n ^{2} + n$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{10} ( k ^{2} + k )$ $\displaystyle = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + \frac{10 \times 11}{2}$ $= 385 + 55$ $= 440$ [다른 풀이] $6 ^{n} = 2 ^{n} \cdot 3 ^{n}$의 짝수인 양의 약수는 반드시 $2$를 인수로 가진다. 그러므로 $6 ^{n}$의 짝수인 양의 약수의 개수는 $2 ^{n-1} \cdot 3 ^{n}$의 양의 약수의 개수와 같다. 따라서 조건을 만족하는 양의 약수의 개수는 $\{ ( n - 1 ) + 1 \} ( n + 1 ) = n ( n + 1 )$ [참고] 자연수 $N$을 소인수분해하였을 때, $N = p ^{\alpha} q ^{\beta} r ^{\gamma}$ ($p$, $q$, $r$는 서로 다른 소수, $\alpha \geq 1$, $\beta \geq 1$, $\gamma \geq 1$) 이라고 하면 $N$의 양의 약수의 개수는 $( \alpha + 1 ) ( \beta + 1 ) ( \gamma + 1 )$