짝수 항의 합으로 정한 수열의 홀수 항의 합

$\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{2 k} = 2 n ^{2} + 3 n$에서 $n = 1$일 때 $a _{2} = 2 + 3 = 5$ $n = 2$일 때 $a _{2} + a _{4} = 8 + 6 = 14$이므로 $a _{4} = 9$ 공차를 $d$라 하면 $a _{4} - a _{2} = 2 d = 4$이므로 $d = 2$ $a _{2 k - 1} = a _{2 k} - d = a _{2 k} - 2$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{2 k - 1} = \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{2 k} - 2 \cdot 10 = ( 200 + 30 ) - 20 = 210$ 실제로 $a _{1} = a _{2} - d = 3$에서 $a _{n} = 2 n + 1$이므로 $\displaystyle a _{1} + a _{3} + \cdots + a _{19} = \frac{10 ( 3 + 39 )}{2} = 210$이다. 따라서 구하는 값은 $210$이다.