짝지은 합과 수열 합

[출제의도] 합의 기호를 이용하여 수열의 합을 구한다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} = a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{9} + a _{10}$ $= ( a _{1} + a _{2} ) + \cdots + ( a _{9} + a _{10} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} ( a _{2 k - 1} + a _{2 k} )$ $= 5 ^{2}$ 따라서 구하는 값은 $25$이다. [다른풀이] 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 제$1$항부터 제$n$항까지의 합을 $S _{n}$이라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} ( a _{2k-1} + a _{2k} ) = n ^{2}$이므로 $( a _{1} + a _{2} ) + ( a _{3} + a _{4} ) + \cdots + ( a _{2n-1} + a _{2n} ) = n ^{2}$ 즉 $S _{2n} = n ^{2}$ $\cdots$㉠ $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{10} a _{k} = S _{10}$이므로 ㉠에 $n = 5$를 대입하면 $S _{10} = 5 ^{2} = 25$