대수수학적 귀납법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

짝홀 점화식 역추적

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $a _{1} = 1$ 이고, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a _{2 n} = 1 + a _{n}$ , $\displaystyle a _{2 n + 1} = \frac{1}{a _{2 n}}$ 을 만족시킨다. $\displaystyle a _{k} = \frac{1}{7}$ 일 때, 자연수 $k$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 추론하기 $a _{1} = 1$ , $a _{2 n} = 1 + a _{n}$ 이므로 $a _{2} = 2$ , $a _{4} = 3$ , $a _{8} = 4$ , $a _{16} = 5$ , $a _{32} = 6$ , $a _{64} = 7$ 이다. 그리고 $\displaystyle a _{2 n + 1} = \frac{1}{a _{2 n}}$ 이므로 $\displaystyle a _{65} = \frac{1}{7}$ 이다. 따라서 $k = 65$

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