대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

짝홀 점화식 수열 합

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = {\begin{cases} \frac{a _{n} + 2}{{2} _{}} & \left( a _{n} \text{은} \text{짝수} \right) _{{} _{}} \\ \frac{a _{n} - 1}{2} & \left( a _{n} \text{은} \text{홀수} \right) \end{cases}}$ 를 만족시킨다. $a _{1} = 20$ 일 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k}$ 의 값은? [3점] ① $38$ ② $42$ ③ $46$ ④ $50$ ⑤ $54$

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④

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해설

주어진 관계식에 $n = 1$ , 2, 3, $\cdots$ 를 차례로 대입하면

$n$	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$a _{n}$	20 11 5 2 2 2 2 2 2 2

$\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{10} a _{k} = 20 + 11 + 5 + 2 \times 7 = 50$

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