대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수와 근과 계수

문제

이차방정식 x2−3x+1=0x ^{2} - 3 x + 1 = 0의 두 실근이 α,β\alpha , \beta일 때, 21α3−1×21β3−1\displaystyle 2 ^{\frac{1}{\alpha ^{3} - 1}} \times 2 ^{\frac{1}{\beta ^{3} - 1}}의 값은? [4점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③1④2⑤4

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②

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해설

[출제의도] 지수법칙 이해하기 이차방정식 x2−3x+1=0x ^{2} - 3 x + 1 = 0의 두 실근 α,β\alpha , \beta에 대하여 α+β=3\alpha + \beta = 3, αβ=1\alpha \beta = 1이다. α3β3=(αβ)3=1\alpha ^{3} \beta ^{3} = \left( \alpha \beta \right) ^{3} = 1, α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)=18\alpha ^{3} + \beta ^{3} = ( \alpha + \beta ) ^{3} - 3 \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = 18 1α3−1+1β3−1=α3+β3−2α3β3−(α3+β3)+1=18−21−18+1=−1\displaystyle \frac{1}{\alpha ^{3} - 1} + \frac{1}{\beta ^{3} - 1} = \frac{\alpha ^{3} + \beta ^{3} - 2}{\alpha ^{3} \beta ^{3} - ( \alpha ^{3} + \beta ^{3} ) + 1} = \frac{18 - 2}{1 - 18 + 1} = - 1 ∴21α3−1×21β3−1=21α3−1+1β3−1=2−1=12\displaystyle \therefore 2 ^{\frac{1}{\alpha ^{3} - 1}} \times 2 ^{\frac{1}{\beta ^{3} - 1}} = 2 ^{\frac{1}{\alpha ^{3} - 1} + \frac{1}{\beta ^{3} - 1}} = 2 ^{- 1} = \frac{1}{2}

태그

#지수법칙#근과 계수의 관계

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