대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수식의 값

문제

좌표평면에서 두 점 (2,0),(0,4)( 2 , 0 ) , ( 0 , 4 )를 지나는 직선 위의 점 P(a,b)\mathrm{P} \mathit{(} a , b )가 등식 4a−2b=64 ^{a} - 2 ^{b} = 6을 만족할 때, 4a+2b4 ^{a} + 2 ^{b}의 값은? [4점] ①88②99③1010④1111⑤1212

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③

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해설

[출제의도] 지수법칙을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 두 점 (2,0),(0,4)( 2 , 0 ) , ( 0 , 4 )를 지나는 직선의 방정식은 y=−2x+4y = - 2 x + 4이므로 b=−2a+4b = - 2 a + 4 ∴ 2a+b=42 a + b = 4 ∴ (4a+2b)2=(4a−2b)2+4⋅4a2b( 4 ^{a} + 2 ^{b} ) ^{2} = ( 4 ^{a} - 2 ^{b} ) ^{2} + 4 \cdot 4 ^{a} 2 ^{b} =62+4⋅22a+b=62+4⋅24=100= 6 ^{2} + 4 \cdot 2 ^{2 a + b} = 6 ^{2} + 4 \cdot 2 ^{4} = 100 그런데 4a+2b>04 ^{a} + 2 ^{b} > 0이므로 4a+2b=100=10\displaystyle 4 ^{a} + 2 ^{b} = \sqrt{100} = 10

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