지수식이 자연수일 조건

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 문제 해결하기 $\displaystyle \begin{aligned} \log _{2} ab & = \log _{2} \left( 2 ^{\frac{1}{n}} \times 2 ^{\frac{1}{n + 1}} \right) \end{aligned}$$\displaystyle = \log _{2} 2 ^{\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}$, $\displaystyle \begin{aligned} \left( \log _{2} a \right) \left( \log _{2} b \right) & = \left( \log _{2} 2 ^{\frac{1}{n}} \right) \left( \log _{2} 2 ^{\frac{1}{n + 1}} \right) & = \frac{1}{n} \times \frac{1}{n + 1} \end{aligned}$ 이다. 지수법칙에 의하여 $\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \frac{3 ^{\log _{2} ab}}{3 ^{( \log _{2} a ) ( \log _{2} b )}} \right\} ^{5} & = \left\{ \frac{3 ^{\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right)}}{3 ^{\left( \frac{1}{n} \times \frac{1}{n + 1} \right)}} \right\} ^{5} & = \left\{ 3 ^{\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n \left( n + 1 \right)}} \right\} ^{5} \end{aligned}$ $\displaystyle = 3 ^{\frac{10}{n + 1}}$ 이다. $\displaystyle 3 ^{\frac{10}{n + 1}}$이 자연수가 되도록 하려면 $n + 1$은 $10$의 약수가 되어야 한다. 그러므로 자연수 $n$의 값은 $1$, $4$, $9$이고 모든 자연수 $n$의 값의 합은 $14$이다.