지수식 최솟값

[출제의도] 지수의 성질을 이용하여 최솟값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $2 ^{x} \cdot 4 ^{y} = 2 ^{x + 2 y}$ 이므로 $x + 2 y$가 최소일 때 $2 ^{x} \cdot 4 ^{y}$은 최솟값을 갖는다. $\displaystyle \sqrt{x} + \sqrt{2 y} = 4$에서 $\displaystyle \sqrt{2 y} = 4 - \sqrt{x}$ ……㉠ 양변을 제곱하면 $\displaystyle 2 y = 16 - 8 \sqrt{x} + x$이므로 $\displaystyle x + 2 y = x + 16 - 8 \sqrt{x} + x$ $\displaystyle = 2 ( \sqrt{x} ) ^{2} - 8 \sqrt{x} + 16$ $\displaystyle = 2 ( \sqrt{x} - 2 ) ^{2} + 8$ ㉠에서 $\displaystyle 4 - \sqrt{x} > 0$ 이므로 $\displaystyle 0 < \sqrt{x} < 4$ 따라서 $x + 2 y$는 $\displaystyle \sqrt{x} = 2$일 때 최솟값 $8$을 가지므로 $2 ^{x} \cdot 4 ^{y}$의 최솟값은 $2 ^{8} = 256$이다. [다른 풀이] 코시-슈바르츠 부등식에서 $\displaystyle ( x + 2 y ) ( 1 ^{2} + 1 ^{2} ) \geq ( \sqrt{x} + \sqrt{2 y} ) ^{2}$ $2 ( x + 2 y ) \geq 4 ^{2}$, $x + 2 y \geq 8$ 따라서 $2 ^{x} \cdot 4 ^{y}$의 최솟값은 $2 ^{8} = 256$이다. [다른 풀이] $x > 0$, $y > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle x + 2 y \geq 2 \sqrt{x \cdot 2 y}$ …… ㉠ (단, 등호는 $x = 2 y$일 때 성립) 한편 $\displaystyle \sqrt{x} + \sqrt{2 y} = 4$에서 $x = 2 y$이면 $\displaystyle \sqrt{x} = \sqrt{2 y} = 2$ ∴ ㉠에서 $\displaystyle x + 2 y \geq 2 \sqrt{x \cdot 2 y}$$\displaystyle = 2 \sqrt{x} \cdot \sqrt{2 y} = 8$ 따라서 $2 ^{x} \cdot 4 ^{y}$의 최솟값은 $2 ^{8} = 256$이다.