지수로그 삼각형 넓이 합

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기 함수 $y = \log _{2} x$는 함수 $y = 2 ^{x}$의 역함수이므로 점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$의 좌표는 $\left( \mathit{2} ^{n} , n \right)$ 직선 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$의 방정식은 $x + y - 2 ^{n} - n = 0$이고, 원점 $\mathrm{O}$와 직선 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{2 ^{n} + n}{\sqrt{2}}$, 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{2} \left( 2 ^{n} - n \right)$($\because$ $2 ^{n} > n$) $\therefore$ $\displaystyle S _{n} = \frac{\mathit{1}}{2} \times \frac{2 ^{n} + n}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} \left( 2 ^{n} - n \right)$ $\displaystyle = \frac{\mathit{4 ^{n} - n ^{2}}}{2}$ 따라서 $\displaystyle 2 \sum\limits _{n = 1} ^{5} S _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left( 4 ^{n} - n ^{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{4 \left( 4 ^{5} - 1 \right)}{4 - 1} - \frac{5 \times 6 \times 11}{6}$ $= 1309$