대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수로그 점화식

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $a _{1} = 1$ 이고 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = {\begin{cases} 2 ^{a _{n}} & \left( a _{n} \leq 1 \right) \\ \log _{a _{n}} \sqrt{2} & \left( a _{n} > 1 \right) \end{cases}}$ 을 만족시킬 때, $a _{12} \times a _{13}$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\displaystyle \sqrt{2}$ ④ $2$ ⑤ $\displaystyle 2 \sqrt{2}$

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③

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해설

$a _{1} = 1$ $a _{2} = 2 ^{1} = 2$ $\displaystyle a _{3} = \log _{2} \sqrt{2} = \frac{1}{2}$ $\displaystyle a _{4} = 2 ^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ $\displaystyle a _{5} = \log _{\sqrt{2}} \sqrt{2} = 1$ $\vdots$ $\displaystyle a _{12} = a _{8} = a _{4} = \sqrt{2}$ $a _{13} = a _{9} = a _{5} = a _{1} = 1$ 따라서 $\displaystyle a _{12} \times a _{13} = \sqrt{2}$

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