지수로그 혼합방정식의 근의 합

$7 ^{\log _{3} x} \cdot x ^{\log _{3} 5 x} = 1$의 양변에 밑이 $3$인 로그를 취하면 $\log _{3} ( 7 ^{\log _{3} x} \cdot x ^{\log _{3} 5 x} ) = \log _{3} 1$, $\log _{3} 7 ^{\log _{3} x} + \log _{3} x ^{\log _{3} 5 x} = 0$ $( \log _{3} x ) ( \log _{3} 7 ) + ( \log _{3} 5 x ) ( \log _{3} x ) = 0$ $( \log _{3} x ) ( \log _{3} 7 ) + ( \log _{3} 5 + \log _{3} x ) ( \log _{3} x ) = 0$ $( \log _{3} x ) ^{2} + ( \log _{3} 5 + \log _{3} 7 ) \log _{3} x = 0$ $( \log _{3} x ) ( \log _{3} x + \log _{3} 35 ) = 0$ $\therefore \log _{3} x = 0$ 또는 $\log _{3} x = - \log _{3} 35$ $\log _{3} x = 0$에서 $x = 1$ $\log _{3} x = - \log _{3} 35$에서 $\displaystyle - \log _{3} 35 = \log _{3} \frac{1}{35}$이므로 $\displaystyle x = \frac{1}{35}$ 따라서 두 근의 합은 $\displaystyle 1 + \frac{1}{35} = \frac{36}{35}$이므로 $p + q = 35 + 36 = 71$