지수로그 곡선과 삼각형

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가? 곡선 $y$$= a ^{x - 1}$은 곡선 $y$$= a ^{x}$을 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 것이고, 곡선 $y$$= \log _{a} \left( x - 1 \right)$은 곡선 $y$$= \log _{a} x$를 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 것이므로 두 곡선 $y$$= a ^{x - 1}$, $y$$= \log _{a} \left( x - 1 \right)$은 직선 $y$$= x - 1$에 대하여 대칭이다. 즉, 두 직선 $y$$= \mathit{-} x + 4$, $y$$= x - 1$의 교점을 $\mathrm{M}$이라 하면 점 $\mathrm{M}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{M} \mathit{\left( \frac{5}{2} , \frac{3}{2} \right)}$이고, 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}}$$\displaystyle = \sqrt{2}$이다. 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\left( k , - k + 4 \right)$라 하면 $\displaystyle \left( k - \frac{5}{2} \right) ^{2} + \left( - k + \frac{5}{2} \right) ^{2}$$= 2$ 에서 $k$$\displaystyle = \frac{3}{2}$ 즉, $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \frac{3}{2} , \frac{5}{2} \right)}$이므로 $\displaystyle \frac{5}{2}$$\displaystyle = a ^{\frac{3}{2} - 1}$ $\displaystyle a ^{\frac{1}{2}}$$\displaystyle = \frac{5}{2}$ $a$$\displaystyle = \frac{25}{4}$ 이때 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , \frac{1}{a} \right)$, 즉 $\displaystyle \left( 0 , \frac{4}{25} \right)$이고, 점 $\mathrm{C}$에서 직선 $y$$= \mathit{-} x + 4$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 선분 $\mathrm{CH}$의 길이는 점 $\mathrm{C}$와 직선 $y$$= \mathit{-} x + 4$ 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}}$$\displaystyle = \frac{\left| 0 + \frac{4}{25} - 4 \right|}{\sqrt{2}}$$\displaystyle = \frac{48 \sqrt{2}}{25}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{CH}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \frac{48 \sqrt{2}}{25}$ $\displaystyle = \frac{96}{25}$ 이므로 $50 \times S$$\displaystyle = 50 \times \frac{96}{25}$$= \mathit{192}$