대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

곡선 y=log⁡2xy = \log _{2} x 위의 점 A(4,2)\mathrm{A} ( 4 , 2 )를 지나고 기울기가 −1- 1인 직선이 곡선 y=4xy = 4 ^{x}과 만나는 점을 C(x1,y1)\mathrm{C} ( \mathit{x} _{1} , y _{1} )이라 하고, 곡선 y=log⁡2xy = \log _{2} x 위의 점 B(12,−1)\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{1}{2} , - 1 \right)을 지나고 기울기가 −1- 1인 직선이 곡선 y=4xy = 4 ^{x}과 만나는 점을 D(x2,y2)\mathrm{D} ( \mathit{x} _{2} , y _{2} )라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

y=log⁡2xy = \log _{2} x y=4xy = 4 ^{x}

<보 기>
ㄱ. x1+x2>0x _{1} + x _{2} > 0 ㄴ. y1y2>1y _{1} y _{2} > 1 ㄷ. y1−y2x1−x2>76\displaystyle \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}} > \frac{7}{6}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계 추론하기 그림과 같이 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동시킨 점을 각각 A′(2,4)\mathrm{A} \mathit{'} \left( 2 , 4 \right), B′(−1,12)\displaystyle \mathrm{B} \mathit{'} \left( - 1 , \frac{1}{2} \right) 이라 하면 1<x1<21 < x _{1} < 2, −1<x2<0- 1 < x _{2} < 0, y1>4y _{1} > 4,14<y2<12\displaystyle \frac{1}{4} < y _{2} < \frac{1}{2}

A′\mathrm{A}' B′\mathrm{B}' y=4xy = 4 ^{x} y=log⁡2xy = \log _{2} x y=2xy = 2 ^{x}

ㄱ. x1>1x _{1} > 1이고 x2>−1x _{2} > - 1이므로 x1+x2>0x _{1} + x _{2} > 0 (참) ㄴ. y1>4y _{1} > 4이고 y2>14\displaystyle y _{2} > \frac{1}{4} 이므로 y1y2>1y _{1} y _{2} > 1 (참) ㄷ. 두 점 C\mathrm{C}, D\mathrm{D}를 지나는 직선의 기울기가 y1−y2x1−x2\displaystyle \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}}이고 두 점 A′\mathrm{A} \mathit{'}, B′\mathrm{B} \mathit{'}을 지나는 직선의 기울기는 76\displaystyle \frac{7}{6}이므로 y1−y2x1−x2>\displaystyle \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}} >76\displaystyle \frac{7}{6} (참)

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