지수로그 보기

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 ㄱ. 두 곡선 $y = 2 ^{x}$과 $y = \log _{2} x$는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이므로 $x _{1} = y _{2}$, $y _{1} = x _{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} \mathrm{=} {\overline{\mathrm{OB}}}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이가 삼각형 $\mathrm{OAC}$의 넓이의 $2$배이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = \frac{1}{2} {\overline{OB}} = \frac{1}{2} {\overline{OA}}$ (참) ㄴ. 점 $\mathrm{C}$는 선분 $\mathrm{OB}$의 중점이므로 $\displaystyle x _{3} = \frac{1}{2} x _{2}$, $\displaystyle y _{3} = \frac{1}{2} y _{2}$ $x _{2} = y _{1} = 2 x _{3}$ $x _{2} + y _{1} = 2 y _{1} = 4 x _{3}$ (참) ㄷ. $y _{2} = 2 ^{x _{2}}$, $\displaystyle y _{3} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x _{3}}$ 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$는 직선 $l$위의 점이므로 직선 $l$의 기울기는 $\displaystyle \frac{y _{2}}{x _{2}} = \frac{y _{3}}{x _{3}}$, $\displaystyle \frac{2 ^{x _{2}}}{x _{2}} = \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{x _{3}}}{x _{3}}$ ㄴ에서 $x _{2} = 2 x _{3}$이므로 $\displaystyle \frac{2 ^{2 x _{3}}}{2 x _{3}} = \frac{2 ^{- x _{3}}}{x _{3}}$, $2 ^{2 x _{3} - 1} = 2 ^{- x _{3}}$ $2 x _{3} - 1 = \mathit{-} x _{3}$이므로 $\displaystyle x _{3} = \frac{1}{3}$ 직선 $l$의 기울기는 $\displaystyle \frac{y _{3}}{x _{3}}$$\displaystyle = \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{x _{3}}}{x _{3}}$$\displaystyle = 3 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{1}{3}}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ