대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수와 수직 조건

문제

지수함수 y=axy = a ^{x} (a>1)( a > 1 )의 그래프와 직선 y=3\displaystyle y = \sqrt{3}이 만나는 점을 A{\mathrm{A}}라 하자. 점 B(4,0){\mathrm{B}} ( 4 , 0 )에 대하여 직선 OA{\mathrm{OA}}와 직선 AB{\mathrm{AB}}가 서로 수직이 되도록 하는 모든 aa의 값의 곱은? (단, O{\mathrm{O}}는 원점이다.) [4점] ①313\displaystyle 3 ^{\frac{1}{3}}②323\displaystyle 3 ^{\frac{2}{3}}③33④343\displaystyle 3 ^{\frac{4}{3}}⑤353\displaystyle 3 ^{\frac{5}{3}}

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②

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해설

[출제의도] 로그방정식의 해를 구한 후 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 할 수 있는가? ax=3\displaystyle a ^{x} = \sqrt{3}에서 x=log⁡a3\displaystyle x = \log _{a} \sqrt{3}이므로 점 A\mathrm{A}의 좌표는 (log⁡a3,3)\displaystyle \left( \log _{a} \sqrt{3} , \sqrt{3} \right)이다. 직선 OA\mathrm{OA}의 기울기는 3log⁡a3\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\log _{a} \sqrt{3}} 직선 AB\mathrm{AB}의 기울기는 3log⁡a3−4\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\log _{a} \sqrt{3} - 4} 직선 OA\mathrm{OA}와 직선 AB\mathrm{AB}가 서로 수직이므로 3log⁡a3×3log⁡a3−4=−1\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\log _{a} \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\log _{a} \sqrt{3} - 4} = - 1 이어야 한다. 즉, (log⁡a3)2−4log⁡a3+3=0\displaystyle \left( \log _{a} \sqrt{3} \right) ^{2} - 4 \log _{a} \sqrt{3} + 3 = 0에서 log⁡a3=1\displaystyle \log _{a} \sqrt{3} = 1 또는 log⁡a3=3\displaystyle \log _{a} \sqrt{3} = 3 a=3\displaystyle a = \sqrt{3} 또는 a3=3\displaystyle a ^{3} = \sqrt{3} 따라서 a=312\displaystyle a = 3 ^{\frac{1}{2}} 또는 a=316\displaystyle a = 3 ^{\frac{1}{6}}이므로 모든 aa의 값의 곱은 312×316=312+16=323\displaystyle 3 ^{\frac{1}{2}} \times 3 ^{\frac{1}{6}} = 3 ^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = 3 ^{\frac{2}{3}}

태그

#지수함수#로그#두 직선의 수직

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