대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수와 선분 길이

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 점 $\mathrm{A}$ ( $2$ , $2$ )를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 지수함수 $y = a ^{x}$ ( $a > 1$ )의 그래프와 만나는 점을 $\mathrm{B}$ , 점 $\mathrm{A}$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 지수함수 $y = a ^{x}$ ( $a > 1$ )의 그래프와 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 또, 점 $\mathrm{B}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 직선 $y = x$ 와 만나는 점을 $\mathrm{E}$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}} : \overline{\mathrm{BA}}$ $= 1 : 3$ 일 때, 선분 $\mathrm{CE}$ 의 길이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) [4점]

① $12$ ② $13$ ③ $14$ ④ $15$ ⑤ $16$

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③

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 $\mathrm{A}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}} : \overline{\mathrm{BA}}$ $= 1 : 3$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}} : \overline{\mathrm{OH}}$ $= 1 : 4$ 이때, $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = 2$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}} = \frac{1}{2}$ 따라서 점 $\mathrm{D}$ 의 $x$ 좌표는 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( \frac{1}{2} , 2 \right)$ 이다. 점 $\mathrm{B}$ 는 지수함수 $y = a ^{x}$ 의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle a ^{\frac{1}{2}} = 2$ ∴ $a = 4$ ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{CE}} = \overline{\mathrm{AC}} = 4 ^{2} - 2 = 14$

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