지수함수와 포물선

함수 $h \left( x \right)$를 $h \left( x \right) = - x ^{2} + tx - 4$라 할 때, $\displaystyle h \left( x \right) = - \left( x - \frac{t}{2} \right) ^{2} + \frac{t ^{2}}{4} - 4$이므로 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{t}{2} , \frac{t ^{2}}{4} - 4 \right)$이다. 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점은 함수 $y = x ^{2} - 4 \left( x > 2 \right)$의 그래프 위에 존재한다. $t > 4$일 때, 두 함수 $y = \left| 2 ^{- x + 3} - 2 \right|$, $y = h \left( x \right)$의 그래프의 교점의 $x$좌표가 방정식 $\left| 2 ^{- x + 3} - 2 \right| = - x ^{2} + tx - 4$의 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta \left( \alpha < \beta \right)$이다.

$\displaystyle f \left( \frac{t}{2} \right) = h \left( \frac{t}{2} \right) = \frac{t ^{2}}{4} - 4$이고 $t > 4$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{t}{2} \right) = \frac{t ^{2}}{4} - 4 > 0$이다. $x$에 대한 방정식 $\displaystyle f \left( x \right) = f \left( \frac{t}{2} \right)$의 서로 다른 실근의 개수를 $g \left( t \right)$라 하자. $\displaystyle 0 < f \left( \frac{t}{2} \right) < 2$일 때, $g \left( t \right) = 3$이다. $\displaystyle f \left( \frac{t}{2} \right) \geq 2$일 때, $g \left( t \right) = 2$이다. $\displaystyle f \left( \frac{t}{2} \right) = \frac{t ^{2}}{4} - 4 \geq 2$ 따라서 $\displaystyle t \geq 2 \sqrt{6}$이므로 $g \left( t \right) = 2$인 $t$의 최솟값은 $\displaystyle 2 \sqrt{6}$이다.