지수함수와 외분점

점 ${\mathrm{D}}$의 좌표를 $\left( t , 0 \right) \left( t > 0 \right)$이라 하자. 점 ${\mathrm{D}}$는 선분 ${\mathrm{CA}}$를 $5 : 3$으로 외분하는 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CA}}} : {\overline{\mathrm{AD}}} = 2 : 3$ 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{2}{5} t$, $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \frac{2}{5} t , \frac{6}{5} t \right)}$ 점 ${\mathrm{C}}$의 $y$좌표는 $2 t$, $\mathrm{C} \mathit{\left( 0 , 2 t \right)}$ 직선 ${\mathrm{BC}}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{1}{3} x + 2 t$ 점 ${\mathrm{B}}$는 두 직선 $y = 3 x$, $\displaystyle y = - \frac{1}{3} x + 2 t$의 교점이므로 $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( \frac{3}{5} t , \frac{9}{5} t \right)}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{\sqrt{10}}{5} t$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\sqrt{10}}{5} t \right) ^{2} = \frac{t ^{2}}{5} = 20$ $t ^{2} = 100$이므로 $t = 10$ ${\mathrm{A}} \mathit{(} 4 , 12 )$, ${\mathrm{B}} \mathit{(} 6 , 18 )$이므로 $12 = 2 ^{4 - m} + n$, $18 = 2 ^{6 - m} + n$ $18 - 2 ^{6 - m} = 12 - 2 ^{4 - m}$ $2 ^{6 - m} - 2 ^{4 - m} = 6$ $64 \times 2 ^{- m} - 16 \times 2 ^{- m} = 6$ $48 \times 2 ^{- m} = 6$, $\displaystyle 2 ^{- m} = \frac{1}{8}$ $m = 3$, $n = 10$ 따라서 $m + n = 13$