지수함수와 직선으로 둘러싸인 넓이와 약수의 개수

그림과 같이 두 함수 $y = 4 ^{x}$, $\displaystyle y = \frac{1}{2 ^{a}} \times 4 ^{x} - a$의 그래프와 두 직선 $y = - 2 x - \log b$, $y = - 2 x + \log c$이 만나는 교점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$라 하자. 함수 $y$$\displaystyle = \frac{1}{2 ^{a}} \times 4 ^{x} - a$에서 $\displaystyle \frac{1}{2 ^{a}} \times 4 ^{x} - a = \frac{1}{4 ^{\frac{a}{2}}} \times 4 ^{x} - a$$\displaystyle = 4 ^{x - \frac{a}{2}} - a$ 이므로 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2 ^{a}} \times 4 ^{x} - a$의 그래프는 함수 $y = 4 ^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{a}{2}$만큼, $y$축의 방향으로 $- a$만큼 평행이동한 그래프와 일치한다. $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{\sqrt{5}}{2} a$ 두 직선 $y = - 2 x - \log b$, $y = - 2 x + \log c$ 사이의 거리를 $d$라 하면 $d$는 점 $\left( 0 , - \log b \right)$에서 직선 $y = - 2 x + \log c$까지의 거리와 일치하므로 $d$$\displaystyle = \frac{\left| - \log b - \log c \right|}{\sqrt{2 ^{2} + 1 ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{\left| \log bc \right|}{\sqrt{5}}$ 즉 구하려는 도형의 넓이는 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이와 같으므로 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} \times d$$\displaystyle = \frac{\sqrt{5} a}{2} \times \frac{\left| \log bc \right|}{\sqrt{5}}$$\displaystyle = \frac{a \left| \log bc \right|}{2}$ $\therefore$ $a \left| \log bc \right| = 6$ (ⅰ) $a = 6$일 때 $\left| \log bc \right| = 1$에서 $bc = 10$ 또는 $\displaystyle bc = \frac{1}{10}$ 즉 $bc = 10$을 만족시키는 자연수 순서쌍 $\left( b , c \right)$의 개수는 $10$의 양의 약수의 개수와 일치하므로 $4$ (ⅱ) $a = 3$일 때 $\left| \log bc \right| = 2$에서 $bc = 100$ 또는 $\displaystyle bc = \frac{1}{100}$ 즉 $bc = 100$을 만족시키는 자연수 순서쌍 $\left( b , c \right)$의 개수는 $100$의 양의 약수의 개수와 일치하므로 $100 = 2 ^{2} \times 5 ^{2}$에서 $\left( 2 + 1 \right) \left( 2 + 1 \right) = 9$ (ⅲ) $a = 2$일 때 $\left| \log bc \right| = 3$에서 $bc = 1000$ 또는 $\displaystyle bc = \frac{1}{1000}$ 즉 $bc = 1000$을 만족시키는 자연수 순서쌍 $\left( b , c \right)$의 개수는 $1000$의 양의 약수의 개수와 일치하므로 $1000 = 2 ^{3} \times 5 ^{3}$에서 $\left( 3 + 1 \right) \left( 3 + 1 \right) = 16$ (ⅳ) $a = 1$일 때 $\left| \log bc \right| = 6$에서 $bc = 1000000$ 또는 $\displaystyle bc = \frac{1}{1000000}$ 즉 $bc = 1000000$을 만족시키는 자연수 순서쌍 $\left( b , c \right)$의 개수는 $1000000$의 양의 약수의 개수와 일치하므로 $1000000 = 2 ^{6} \times 5 ^{6}$에서 $\left( 6 + 1 \right) \left( 6 + 1 \right) = 49$ 이상에서 구하려는 자연수 순서쌍 $\left( a , b , c \right)$의 개수는 $4 + 9 + 16 + 49 = 78$