지수함수와 직선 교점

[출제의도] 지수함수의 그래프 위의 점을 좌표로 표현하여 값을 구한다. 점 $\mathrm{A}$가 선분 $\mathrm{OB}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} : \overline{OB} = 1 : 2$이다. 따라서 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 $\mathrm{A} ( \alpha , \alpha )$, $\mathrm{B} ( 2 \alpha , 2 \alpha )$로 놓을 수 있다. 곡선 $y = k \cdot 2 ^{x}$과 직선 $y = x$가 점 $\mathrm{A}$를 지나므로 $\alpha = k \cdot 2 ^{\alpha}$$\cdots$㉠ 또, 곡선 $y = k \cdot 2 ^{x}$과 직선 $y = x$가 점 $\mathrm{B}$를 지나므로 $2 \alpha = k \cdot 2 ^{2 \alpha}$$\cdots$㉡ $\text{㉡} \div \text{㉠}$에서 $\displaystyle \frac{2 \alpha}{\alpha} = \frac{k \cdot 2 ^{2 \alpha}}{k \cdot 2 ^{\alpha}}$ $2 = 2 ^{\alpha}$ $\therefore$$\alpha = 1$이고 ㉠에서 $\displaystyle k = \frac{\alpha}{2 ^{\alpha}} = \frac{1}{2}$