지수함수와 직선 교점

$x < - 2$에서 함수 $y = 2 ^{x + 2} + 7$의 치역은 $\left\{ y \left| 7 < y < 8 \right\} \right.$이고, $x \geq - 2$에서 함수 $\displaystyle y = - \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - a} + 10$의 치역은 $\left\{ y \left| - 2 ^{a + 2} + 10 \leq x < 10 \right\} \right.$이다. 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값이 존재하기 위해서는 $- 2 ^{a + 2} + 10 \leq 7$ $\displaystyle 2 ^{a} \geq \frac{3}{4}$ $\cdots \cdots$㉠ 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $- 2 ^{a + 2} + 10$ $\cdots \cdots$㉡ 직선 $x + 2 ^{a} y - t = 0$은 점 $\left( t , 0 \right)$을 지나므로 $t$는 이 직선의 $x$절편이다. 점 $\left( - 2 , 8 \right)$을 지나는 직선 $x + 2 ^{a} y - t = 0$의 $x$절편은 $t = - 2 + 2 ^{a} \times 8 = 2 ^{a + 3} - 2$ 점 $\left( - 2 , - 2 ^{a + 2} + 10 \right)$을 지나는 직선 $x + 2 ^{a} y - t = 0$의 $x$절편은 $t = - 2 + 2 ^{a} \times \left( - 2 ^{a + 2} + 10 \right) = - 2 ^{2 a + 2} + 10 \times 2 ^{a} - 2$ $g \left( t \right) = 2$를 만족시키는 실수 $t$의 값의 범위는 $- 2 ^{2 a + 2} + 10 \times 2 ^{a} - 2 \leq t < 2 ^{a + 3} - 2$ $t$의 최솟값은 $- 2 ^{2 a + 2} + 10 \times 2 ^{a} - 2$ $\cdots \cdots$㉢ ㉡, ㉢에서 $- 2 ^{a + 2} + 10 = - 2 ^{2 a + 2} + 10 \times 2 ^{a} - 2$ $4 \times \left( 2 ^{a} \right) ^{2} - 14 \times 2 ^{a} + 12 = 0$ $2 \left( 2 \times 2 ^{a} - 3 \right) \left( 2 ^{a} - 2 \right) = 0$ ㉠에서 $\displaystyle 2 ^{a} \geq \frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle 2 ^{a} = \frac{3}{2}$ 또는 $2 ^{a} = 2$ 따라서 모든 $2 ^{a}$의 값의 곱은 $\displaystyle \frac{3}{2} \times 2 = 3$