지수함수와 직사각형 넓이 합

[출제의도] 수열의 합을 활용하여 문제해결하기 $a ^{x} - 1 = n$에서 $x = \log _{a} \left( n + 1 \right)$, $a ^{x} - 1 = n + 1$에서 $x = \log _{a} \left( n + 2 \right)$이므로 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{A} _{\mathit{n} + 1}$을 대각선으로 하는 직사각형의 넓이 $S _{n}$은 $S _{n}$$= \log _{a} \left( n + 2 \right) - \log _{a} \left( n + 1 \right)$$\displaystyle = \log _{a} \frac{n + 2}{n + 1}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{14} S _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{14} \log _{a} \frac{n + 2}{n + 1}$ $\displaystyle = \log _{a} \frac{3}{2} + \log _{a} \frac{4}{3} + \log _{a} \frac{5}{4} + \cdots + \log _{a} \frac{16}{15}$ $\displaystyle = \log _{a} \left( \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \cdots \times \frac{16}{15} \right)$ $= \log _{a} 8$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{14} S _{n} = 6$에서 $\log _{a} 8 = 6$, $a ^{6} = 8$ 따라서 $a > 1$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{2}$