지수함수와 이등변삼각형

[출제의도] 지수함수를 이용하여 문제를 해결한다.

점 $\mathrm{P}$에서 직선 $\mathrm{QR}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{HQ}}}$$= t$($t > 0$)이라 하면 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기가 $- 2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}$$= 2 t$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HR}}}$$= 5 - t$이다. 직각삼각형 $\mathrm{PRH}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\left( 5 - t \right) ^{2} + \left( 2 t \right) ^{2} = 5 ^{2}$, $t \left( t - 2 \right) = 0$, $t = 2$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HR}}} = 3$ 점 $\mathrm{R}$의 $x$좌표를 $m$이라 하면 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $m + 3$, 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $m + 5$이므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{m} + 3 , a ^{m + 4} + 1 \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \mathit{m} + 5 , a ^{m + 2} - \frac{7}{4} \right)$, $\displaystyle \mathrm{R} \left( \mathit{m} , - a ^{m + 4} + \frac{3}{2} \right)$ 점 $\mathrm{\mathrm{P}}$의 $y$좌표는 점 $\mathrm{R}$의 $y$좌표보다 $4$만큼 크므로 $a ^{m + 4} + 1$$\displaystyle = \left( - a ^{m + 4} + \frac{3}{2} \right) + 4$ $\displaystyle a ^{m + 4} = \frac{9}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표와 점 $\mathrm{R}$의 $y$좌표가 같으므로 $\displaystyle a ^{m + 2} - \frac{7}{4}$$\displaystyle \mathit{=} \mathit{-} a ^{m + 4} + \frac{3}{2}$ ㉠을 대입하여 정리하면 $a ^{m + 2} = 1$ $a > 1$에서 $m + 2 = 0$이므로 $m = \mathit{-} 2$ ㉠에서 $\displaystyle a ^{2} = \frac{9}{4}$, $a > 1$이므로 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ 점 $\mathrm{P}$$\displaystyle \left( 1 , \frac{13}{4} \right)$이 직선 $y = \mathit{-} 2 x + k$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{13}{4} = \mathit{-} 2 \times 1 + k$, $\displaystyle k = \frac{21}{4}$ 따라서 $a + k$$\displaystyle = \frac{3}{2} + \frac{21}{4}$$\displaystyle = \frac{27}{4}$