미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 연속 조건

문제

함수 $f \left( x \right)$ 가 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \frac{e ^{3 x} - 1}{x \left( e ^{x} + 1 \right)} & \left( x \ne 0 \right) \\ a & \left( x = 0 \right) \end{cases}}$ 이다. $f \left( x \right)$ 가 $x = 0$ 에서 연속일 때, 상수 $a$ 의 값은? [3점] ① $1$ ② $\displaystyle \frac{3}{2}$ ③ $2$ ④ $\displaystyle \frac{5}{2}$ ⑤ $3$

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②

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해설

[출제의도]연속일 조건을 구할 수 있는가? 함수 $f ( x )$ 가 $x = 0$ 에서 연속이므로 $\displaystyle a = \lim\limits _{x \rightarrow 0} f ( x )$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{e ^{3x} - 1}{x ( e ^{x} + 1 )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} ( \frac{e ^{3x} - 1}{3 x} \times \frac{3}{e ^{x} + 1} )$ $\displaystyle = 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

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