지수함수 실근 개수

$f \left( x \right) f \left( x - k \right) = 0$이면 $f \left( x \right) = 0$ 또는 $f \left( x - k \right) = 0$이므로 $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) f \left( x - k \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프 또는 함수 $y = f \left( x - k \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 $y = f \left( x - k \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수와 같고, 그 개수는 $a < - 52$ 또는 $a \geq 12$일 때 $0$, $- 52 \leq a \leq 0$ 또는 $8 \leq a < 12$일 때 $1$, $0 < a < 8$일 때 $2$이다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프 또는 함수 $y = f \left( x - k \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수는 $a \leq 0$ 또는 $a \geq 8$일 때 $2$ 이하이고, $0 < a < 8$일 때 $4$ 이하이므로 조건을 만족시키려면 $0 < a < 8$이어야 한다. $\cdots \cdots$ ㉠ $0 < a < 8$일 때, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표를 $\alpha$, $\beta \left( \alpha < \beta \right)$라 하면 $\alpha < 0 < \beta$이고, 함수 $y = f \left( x - k \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표는 $\alpha + k$, $\beta + k$이다. 이때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프 또는 함수 $y = f \left( x - k \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $3$이려면 $\beta = \alpha + k$이어야 한다. $0 < a < 8$이고 $\beta = \alpha + k$일 때, 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = f \left( x - k \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

$f \left( \alpha \right) = 0$이므로 $- 2 ^{\alpha + 3} + a = 0$, $2 ^{\alpha + 3} = a$에서 $\alpha = \log _{2} a - 3$ $f \left( \beta \right) = 0$이므로 $2 ^{- \beta + 6} + a - 12 = 0$, $2 ^{- \beta + 6} = 12 - a$에서 $\beta = 6 - \log _{2} \left( 12 - a \right)$ $k$는 $4$ 이하의 양수이므로 $k$$= \beta - \alpha$ $= 6 - \log _{2} \left( 12 - a \right) - \log _{2} a + 3$ $= 9 - \log _{2} \left( 12 a - a ^{2} \right) \leq 4$ $\log _{2} \left( 12 a - a ^{2} \right) \geq 5$ $12 a - a ^{2} \geq 32$ $a ^{2} - 12 a + 32 = \left( a - 4 \right) \left( a - 8 \right) \leq 0$ ㉠에서 $0 < a < 8$이므로 $4 \leq a < 8$ 따라서 조건을 만족시키도록 하는 모든 정수 $a$의 값의 합은 $4 + 5 + 6 + 7 = 22$