대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 성질 보기

문제

함수 f(x)=ax(a>0,a≠1)f ( x ) = a ^{x} ( a > 0 , a \ne 1 ) 에 대하여 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. 임의의 실수 p,qp , q 에 대하여 f(p+q)=f(p)f(q)f ( p + q ) = f ( p ) f ( q )이다. ㄴ. 0<a<10 < a < 1 일 때, x1<x2{x} _{1} < {x} _{2} 이면 f(x1)>f(x2)f \left( x _{1} \right) > f \left( x _{2} \right) 이다. ㄷ. f(x)+f(−x)f ( x ) + f ( - x ) 의 최솟값은 22 이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

f(x)=ax(a>0,a≠1)f ( x ) = a ^{x} ( a > 0 , a \ne 1 ) 에서 ㄱ. f(p+q)=ap+q=ap⋅aq=f(p)f(q)f ( p + q ) = a ^{p + q} = a ^{p} \cdot a ^{q} = f ( p ) f ( q ) ∴ 참 ㄴ. 0<a<10 < a < 1일 때 감소함수이므로 x1<x2{x} _{1} < {x} _{2}이면 f(x1)>f(x2)f ( {x} _{1} ) > f ( {x} _{2} )이다 ∴ 참 ㄷ. f(x)+f(−x)=ax+a−xf ( x ) + f ( - x ) = a ^{x} + a ^{- x} ax+a−x≥2ax⋅a−x=2\displaystyle a ^{x} + a ^{- x} \geq 2 \sqrt{a ^{x} \cdot a ^{- x}} = 2이므로 f(x)+f(−x)f ( x ) + f ( - x )의 최소값은 22 이다. ∴ 참

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